路径积分中的小虚部(下)

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9.2 过渡到S矩阵

真空波函数

如前文所述，我们可以轻松地将第9.1节的一般量子力学结果转换为适合量子场论的记号，即让指标\(a\)遍历空间中的点\(\mathbf{x}\)和自旋及种类指标\(m\)，并用\(Q_m\left(\mathbf{x},t\right)\)和\(P_m\left(\mathbf{x},t\right)\)分别替换\(Q_a\left(t\right)\)和\(P_a\left(t\right)\)。式(9.1.38)则变为[1]

\[ \begin{align} &\langle q';t'|T\left\{\mathcal{O}_A\left[P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}|q;t\rangle \nonumber\\ &= \int_{q_m\left(\mathbf{x},t\right) = q_m\left(\mathbf{x}\right)} ^{q_m\left(\mathbf{x},t'\right) = q'_m\left(\mathbf{x}\right)} \prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \frac{dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)}{2\pi} \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_A\left[p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right] \mathcal{O}_B\left[p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right] \cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_t^{t'} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right) - H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right]\right\}\right]. \label{eq:9.2.1} \end{align} \]

然而，在场论中式\(\eqref{eq:9.2.1}\)并不完全是我们想要的。实验家不测量量子场\(Q\)的本征态\(\langle q';t'|\)和\(|q;t\rangle\)之间跃迁的概率幅，而是测量S矩阵元，即在远过去时刻\(t = -\infty\)包含各种粒子的确定数目状态与在远将来时刻\(t' = +\infty\)包含各种粒子的确定数目状态之间跃迁的概率幅。这些被称为'入'和'出'态，\(|\alpha,\text{in}\rangle\)和\(|\beta,\text{out}\rangle\)，其中\(\alpha\)和\(\beta\)表示以各种粒子的动量、自旋\(z\)分量（或螺旋度）和种类为特征的粒子集合。为了计算这种态之间的时间序乘积（可能是空的）矩阵元，我们需要将式\(\eqref{eq:9.2.1}\)乘以在任意固定时刻\(t\)和\(t'\)的'波函数'\(\langle\beta,\text{out}|q';t'\rangle\)和\(\langle q;t|\alpha,\text{in}\rangle\)（为方便起见在此取为\(-\infty\)和\(+\infty\)），然后对这些波函数的宗量\(q'_m\left(\mathbf{x}\right)\)和\(q_m\left(\mathbf{x}\right)\)进行积分。但与其通过条件

\[ \begin{align} q_m\left(\mathbf{x},+\infty\right) &= q'_m\left(\mathbf{x}\right), \label{eq:9.2.2a}\\ q_m\left(\mathbf{x},-\infty\right) &= q_m\left(\mathbf{x}\right) \label{eq:9.2.2b} \end{align} \]

来约束路径积分中的\(q_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)，然后对\(q'_m\left(\mathbf{x}\right)\)和\(q_m\left(\mathbf{x}\right)\)进行积分，我们可以同样进行对\(q_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)（以及\(p_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)）的无约束积分，并将波函数的宗量设置为式(9.2.2)给出的值：

\[ \begin{align} &\langle\beta,\text{out}|T\left\{\mathcal{O}_A\left[P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}|\alpha,\text{in}\rangle \nonumber\\ &= \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \left(dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)/2\pi\right) \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_A\left[p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right] \mathcal{O}_B\left[p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right] \cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right) - H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right]\right\}\right] \nonumber\\ &\times \langle\beta,\text{out}|q\left(+\infty\right);+\infty\rangle \langle q\left(-\infty\right);-\infty|\alpha,\text{in}\rangle. \label{eq:9.2.3} \end{align} \]

顺便说一下，这个结果立即[2]导致式(6.4.3)，这是我们反复用来将不在壳(off-shell)费曼图的和与海森堡绘景算符之间的确切能量本征态的矩阵元联系起来的定理。

现在有必要考虑如何计算式\(\eqref{eq:9.2.3}\)中作为最后一对因子出现的波函数。让我们首先考虑最简单也是最重要的情况，即真空。（我们在第6.4节中看到，从真空期望值可以很容易地计算S矩阵元的时间序乘积。）我们照常假设对于\(t \to \pm\infty\)，矩阵元可以按没有相互作用的方式计算。'入'和'出'真空因此可以由条件定义

\[ \begin{align} a_{\text{in}}\left(\mathbf{p},\sigma,n\right)|\text{VAC},\text{in}\rangle &= 0, \label{eq:9.2.4a}\\ a_{\text{out}}\left(\mathbf{p},\sigma,n\right)|\text{VAC},\text{out}\rangle &= 0, \label{eq:9.2.4b} \end{align} \]

其中\(a_{\text{in}}\)和\(a_{\text{out}}\)是分别出现在算符\(Q_m\left(\mathbf{x},t\right)\)在\(t \to -\infty\)和\(t \to +\infty\)的\(\exp\left(i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - iEt\right)\)平面波展开系数中的算符。例如，对于中性无自旋粒子的实标量场，我们实际上有

\[ \begin{equation} \Phi\left(\mathbf{x},t\right) \stackrel{t \to \mp\infty}{\longrightarrow} \left(2\pi\right)^{-3/2} \int d^3\mathbf{p} \left(2E\right)^{-1/2}\left[a_{\text{in/out}}\left(\mathbf{p}\right)e^{ip\cdot x} + \text{H.c.}\right], \label{eq:9.2.5} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} \Pi\left(\mathbf{x},t\right) \stackrel{t \to \mp\infty}{\longrightarrow}\dot{\Phi}(\mathbf{x},t) \stackrel{t \to \mp\infty}{\longrightarrow}-i\left(2\pi\right)^{-3/2} \int d^3\mathbf{p} \left(E/2\right)^{1/2}\left[a_{\text{in/out}}\left(\mathbf{p}\right)e^{ip\cdot x} - \text{H.c.}\right], \label{eq:9.2.6} \end{equation} \]

其中\(p^0 \equiv E \equiv \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}\)，我们在这里使用传统的\(\Phi\)和\(\Pi\)而不是\(Q\)和\(P\)表示标量场，并省略不必要的标签\(m,\sigma,n\)。反演傅里叶变换并取结果表达式的线性组合，我们有

\[ \begin{equation} a_{\text{in/out}}\left(\mathbf{p}\right) = \lim_{t \to \mp\infty} \frac{e^{iEt}}{\left(2\pi\right)^{3/2}} \int d^3\mathbf{x} e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \left[\sqrt{\frac{E}{2}}\Phi\left(\mathbf{x},t\right) + i\sqrt{\frac{1}{2E}}\Pi\left(\mathbf{x},t\right)\right]. \label{eq:9.2.7} \end{equation} \]

如第9.1节所述，'动量'\(\Pi\left(\mathbf{x},t\right)\)在\(\phi\)基中作为变分导数\(-i\delta/\delta\phi\left(\mathbf{x},t\right)\)作用于波函数，所以在这个基中条件(9.2.4)变为

\[ \begin{equation} 0 = \int d^3\mathbf{x} e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \left[\frac{\delta}{\delta\phi\left(\mathbf{x}\right)} + E\left(\mathbf{p}\right)\phi\left(\mathbf{x}\right)\right] \langle\phi\left(\mathbf{x}\right);\mp\infty|\text{VAC},\text{in/out}\rangle. \label{eq:9.2.8} \end{equation} \]

对应的常微分方程有众所周知的高斯解，所以让我们在这里尝试高斯ansatz：

\[ \begin{equation} \langle\phi\left(\mathbf{x}\right),\mp\infty|\text{VAC},\text{in/out}\rangle = \mathcal{N} \exp\left(-\frac{i}{2}\int d^3\mathbf{x} d^3\mathbf{y} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)\phi\left(\mathbf{x}\right)\phi\left(\mathbf{y}\right)\right), \label{eq:9.2.9} \end{equation} \]

其中核\(\mathcal{E}\)和常数\(\mathcal{N}\)待定。将此代入式\(\eqref{eq:9.2.8}\)，我们看到真空波泛函的泛函微分方程对所有\(\phi\)都满足，如果

\[ \begin{equation} 0 = \int d^3\mathbf{x} e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \left[\int d^3\mathbf{y} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)\phi\left(\mathbf{y}\right) - E\left(\mathbf{p}\right)\phi\left(\mathbf{x}\right)\right], \label{eq:9.2.10} \end{equation} \]

或者，换句话说，如果

\[ \begin{equation} \int d^3\mathbf{x} e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right) = E\left(\mathbf{p}\right) e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{y}}. \label{eq:9.2.11} \end{equation} \]

通过反演傅里叶变换很容易找到解

\[ \begin{equation} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right) = \left(2\pi\right)^{-3} \int d^3\mathbf{p} e^{i\mathbf{p} \cdot \left(\mathbf{x}-\mathbf{y}\right)}E\left(\mathbf{p}\right). \label{eq:9.2.12} \end{equation} \]

（回忆\(E\left(\mathbf{p}\right) \equiv \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}\)。）这实际上是核\(\mathcal{E}\)最有用的表示，但我们可以顺便注意到对于\(\mathbf{x} \neq \mathbf{y}\)，\(\mathcal{E}\)也可以写成负阶Hankel函数的形式

\[ \begin{equation} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right) = \frac{m}{2\pi^2 r} \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}K_{-1}\left(mr\right)\right), \label{eq:9.2.13} \end{equation} \]

其中\(r \equiv |\mathbf{x} - \mathbf{y}|\)。式\(\eqref{eq:9.2.9}\)中的常数\(\mathcal{N}\)可以形式上从真空态的归一化条件获得，但我们不需要这个结果。

小虚部\(i\epsilon\)

根据式\(\eqref{eq:9.2.9}\)，在标量场理论中计算真空期望值时，式\(\eqref{eq:9.2.3}\)中最后两个因子的乘积是

\[ \begin{align} &\langle\text{VAC},\text{out}|\phi\left(\infty\right);+\infty\rangle \langle\phi\left(-\infty\right);-\infty|\text{VAC},\text{in}\rangle \nonumber\\ &= |\mathcal{N}|^2 \exp\left(-\frac{1}{2}\int d^3\mathbf{x} d^3\mathbf{y} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)\left[\phi\left(\mathbf{x},+\infty\right)\phi\left(\mathbf{y},+\infty\right)+\phi\left(\mathbf{x},-\infty\right)\phi\left(\mathbf{y},-\infty\right)\right]\right) \label{eq:9.2.14a}\\ &= |\mathcal{N}|^2 \exp\left(-\frac{1}{2}\epsilon \int d^3\mathbf{x} d^3\mathbf{y} \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)\phi\left(\mathbf{x},\tau\right)\phi\left(\mathbf{y},\tau\right)e^{-\epsilon|\tau|}\right), \label{eq:9.2.14b} \end{align} \]

其中\(\epsilon\)是正无穷小量。为了得到最终表达式，我们使用了对任何合理光滑函数\(f\left(\tau\right)\)的事实，

\[ \begin{equation} f\left(+\infty\right) + f\left(-\infty\right) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \epsilon \int_{-\infty}^{+\infty} d\tau f\left(\tau\right) e^{-\epsilon|\tau|}. \label{eq:9.2.15} \end{equation} \]

将式(9.2.14)插入式(9.2.3)后给出

\[ \begin{align} &\left\langle\text{VAC},\text{out}\left|T\left\{\mathcal{O}_A\left[\Pi\left(t_A\right),\Phi\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[\Pi\left(t_B\right),\Phi\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}\right|\text{VAC},\text{in}\right\rangle \nonumber\\ &= |\mathcal{N}|^2 \int \prod_{\tau,\mathbf{x}} d\phi\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x}} \left(d\pi\left(\mathbf{x},\tau\right)/2\pi\right) \mathcal{O}_A\left[\pi\left(t_A\right),\phi\left(t_A\right)\right] \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_B\left[\pi\left(t_B\right),\phi\left(t_B\right)\right] \cdots \exp\left[i\int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \dot{\phi}\left(\mathbf{x},\tau\right)\pi\left(\mathbf{x},\tau\right)\right.\right. \nonumber\\ &\left.\left.-H\left[\phi\left(\tau\right),\pi\left(\tau\right)\right] + \frac{i}{2}\epsilon \int d^3\mathbf{x} d^3\mathbf{y} \mathcal{E}\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)e^{-\epsilon|\tau|}\phi\left(\mathbf{x},\tau\right)\phi\left(\mathbf{y},\tau\right)\right\}\right]. \label{eq:9.2.16} \end{align} \]

我们将在第9.4节中看到，式\(\eqref{eq:9.2.16}\)中指数宗量的最后一项的整个效果是在动量空间的标量场传播子分母中提供\(-i\epsilon\)，\(\mathbf{p}^2 + m^2 \to \mathbf{p}^2 + m^2 - i\epsilon\)。我们不会在这里详述一般自旋场的相应细节，而是简单地说明，一般情况下

\[ \begin{align} &\left\langle\text{VAC},\text{out}\left|T\left\{\mathcal{O}_A\left[P_A\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[P_B\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}\right|\text{VAC},\text{in}\right\rangle \nonumber\\ &= |\mathcal{N}|^2 \int \left[\prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\right]\left[\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \frac{dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)}{2\pi}\right] \mathcal{O}_A\left[p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right] \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_B\left[p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right] \cdots \exp\left[i\int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\right.\right. \nonumber\\ &\left.\left.-H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right] + i\epsilon \text{ terms}\right\}\right], \label{eq:9.2.17} \end{align} \]

其中'\(i\epsilon\) terms'正好具有在所有传播子分母中放入正确\(-i\epsilon\)的效果。

这里是提及式(9.2.17)中诸如常数\(|\mathcal{N}|^2\)等与场无关因子并不重要的好地方。这是因为这种因子也对矩阵元\(\langle\text{VAC},\text{out}|\text{VAC},\text{in}\rangle\)有贡献。在计算时间序产品的真空期望值的连通部分（或S矩阵）时，我们通过除以\(\langle\text{VAC},\text{out}|\text{VAC},\text{in}\rangle\)来消除不连通真空涨落子图的贡献，任何真空期望值中的常数因子在这个比值中抵消。

我们可以继续计算多粒子态之间的矩阵元，方法是在式(9.2.3)中插入适当的'波泛函'。这些可以通过应用第9.2.7节所述的湮灭算符来计算，就像刚才对谐振子态那样，这些波泛函最终会变成场乘真空高斯的厄米多项式。我们不需要在这里全部计算出来，因为如第6.4节所示，真空期望值(9.2.17)是我们为了能够计算S矩阵元所需要的全部。

  1. 1.我们现在用方括号写\(H\)和\(\mathcal{O}\)，以提醒我们\(H\left[q\left(t\right),p\left(t\right)\right]\)和\(\mathcal{O}\left[p\left(t\right),q\left(t\right)\right]\)是在固定时刻\(t\)的\(q_m\left(\mathbf{x},t\right)\)和\(p_m\left(\mathbf{x},t\right)\)的泛函。 ↩︎
  2. 2.只需要注意的是，对于哈密顿量\(H\left[P\left(t\right),Q\left(t\right)\right] + \sum_A \int d^3\mathbf{x} \epsilon_A\left(\mathbf{x},t\right)O_A\left(\mathbf{x},t\right)\)，S矩阵由式(9.2.3)给出为 \[ \langle\beta,\text{out}|\alpha,\text{in} \rangle_\epsilon = \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \left(\frac{dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)}{2\pi}\right) \] \[ \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \left[\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right) - H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right] - \sum_A \int d^3\mathbf{x} \epsilon_A\left(\mathbf{x},\tau\right)O_A\left(\mathbf{x},\tau\right) \right] \right] \] \[ \times \langle\beta,\text{out}|q\left(+\infty\right);+\infty\rangle \langle q\left(-\infty\right);-\infty|\alpha,\text{in}\rangle. \] 式(6.4.3)的左端通过关于\(\epsilon_A\)在\(\epsilon = 0\)处对这个表达式的导数获得，然后使用式(9.2.3)立即给出式(6.4.3)的右端。 ↩︎