本文利用AI翻译自Github上TexStudio中的Tips And Tricks，原文由sunderme撰写，最后更新于2023年六月一日。供参考使用

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最近利用LLM写东西以及润色东西的频率太高，以至于写东西的是LLM而不是我自己，这样可能对未来独立写作的能力不好。借着这次食贫道更新了<首尔夏天>讨论了韩国社会的一些现象的机会，简单地写一些东西。

<首尔夏天>^[1]，主要以采访纪实的形式，分别采访了(主要)五个对象，包括女作家郑智我(朝鲜)，海女，教育群体(修能考试)，追星产业链以及梦想成为明星的练习生。 这些对象也和国内对韩国的一些印象相吻合。像是朝韩关系，韩国人不睡觉，韩国K-pop产业等。至少从我个人的角度而言，可以看到这些背后和国内文化有许多相似之处。

这篇短文主要想从教育的方面来谈。拿视频中的其中一个片段举例^[2]

若是非理工的人来看，可能会认为中学生能灵活应用如此多的知识而感到惊讶，但若是稍微了解一些便会发现这一段话基本上是名词的堆砌。仅仅是将一本书名进行了推广，然后用一些看似高深的专有名词在语言上进行了加工。

用高大上的词汇描述简单的事情的行为并不少见。但是在韩国选拔人才作为全国性的事件中，作为一个评价标准就有些奇怪了(至少在我看来)。国内的高考相对而言考察的都是知识本身(至少明面上)，因而较少出现这样的名词堆砌的情况，这样相对而言要更加考察知识的细节，毕竟细节才是最重要的，这样才能够有能力上的区分度。但若是过于强调包装和论述，反而失去了选拔人才本身的意义，且另一层面来说，也更有利于部分具有包装能力的人取得更好的成绩。

若是以当下的文化来形容，应当是“卷”^[3]文化。卷文化的底层逻辑是社会生产的蛋糕大小增量变少，个体(甚至群体)要在增量中获取和之前相同的份额，就必须付出更大的努力，进一步发展则会导致恶性竞争。韩国教育作为卷文化的代表可谓是极致，视频中的也提到，韩国高度内卷的修能考试实质上的促使一部分学业欠佳的学生走上练习生的道路。然而过多的人力涌入也带来了追星企业的内卷，大部分娱乐公司自身难保，也自然没有足够的资源去推动公司的练习生出道以及之后的发展。由此或许可以一定程度上地推广到韩国社会其他的产业。

9.2 过渡到S矩阵

真空波函数

如前文所述，我们可以轻松地将第9.1节的一般量子力学结果转换为适合量子场论的记号，即让指标\(a\)遍历空间中的点\(\mathbf{x}\)和自旋及种类指标\(m\)，并用\(Q_m\left(\mathbf{x},t\right)\)和\(P_m\left(\mathbf{x},t\right)\)分别替换\(Q_a\left(t\right)\)和\(P_a\left(t\right)\)。式(9.1.38)则变为^[1]

\[\begin{align} &\langle q';t'|T\left\{\mathcal{O}_A\left[P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}|q;t\rangle \nonumber\\ &= \int_{q_m\left(\mathbf{x},t\right) = q_m\left(\mathbf{x}\right)} ^{q_m\left(\mathbf{x},t'\right) = q'_m\left(\mathbf{x}\right)} \prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \frac{dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)}{2\pi} \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_A\left[p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right] \mathcal{O}_B\left[p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right] \cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_t^{t'} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right) - H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right]\right\}\right]. \label{eq:9.2.1} \end{align}\]

然而，在场论中式\(\eqref{eq:9.2.1}\)并不完全是我们想要的。实验家不测量量子场\(Q\)的本征态\(\langle q';t'|\)和\(|q;t\rangle\)之间跃迁的概率幅，而是测量S矩阵元，即在远过去时刻\(t = -\infty\)包含各种粒子的确定数目状态与在远将来时刻\(t' = +\infty\)包含各种粒子的确定数目状态之间跃迁的概率幅。这些被称为'入'和'出'态，\(|\alpha,\text{in}\rangle\)和\(|\beta,\text{out}\rangle\)，其中\(\alpha\)和\(\beta\)表示以各种粒子的动量、自旋\(z\)分量（或螺旋度）和种类为特征的粒子集合。为了计算这种态之间的时间序乘积（可能是空的）矩阵元，我们需要将式\(\eqref{eq:9.2.1}\)乘以在任意固定时刻\(t\)和\(t'\)的'波函数'\(\langle\beta,\text{out}|q';t'\rangle\)和\(\langle q;t|\alpha,\text{in}\rangle\)（为方便起见在此取为\(-\infty\)和\(+\infty\)），然后对这些波函数的宗量\(q'_m\left(\mathbf{x}\right)\)和\(q_m\left(\mathbf{x}\right)\)进行积分。但与其通过条件

\[\begin{align} q_m\left(\mathbf{x},+\infty\right) &= q'_m\left(\mathbf{x}\right), \label{eq:9.2.2a}\\ q_m\left(\mathbf{x},-\infty\right) &= q_m\left(\mathbf{x}\right) \label{eq:9.2.2b} \end{align}\]

来约束路径积分中的\(q_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)，然后对\(q'_m\left(\mathbf{x}\right)\)和\(q_m\left(\mathbf{x}\right)\)进行积分，我们可以同样进行对\(q_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)（以及\(p_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\)）的无约束积分，并将波函数的宗量设置为式(9.2.2)给出的值：

\[\begin{align} &\langle\beta,\text{out}|T\left\{\mathcal{O}_A\left[P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right], \mathcal{O}_B\left[P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right], \cdots \right\}|\alpha,\text{in}\rangle \nonumber\\ &= \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m} dq_m\left(\mathbf{x},\tau\right)\prod_{\tau,\mathbf{x},m} \left(dp_m\left(\mathbf{x},\tau\right)/2\pi\right) \nonumber\\ &\times \mathcal{O}_A\left[p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right] \mathcal{O}_B\left[p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right] \cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_{-\infty}^{+\infty} d\tau \left\{\int d^3\mathbf{x} \sum_m \dot{q}_m\left(\mathbf{x},\tau\right)p_m\left(\mathbf{x},\tau\right) - H\left[q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right]\right\}\right] \nonumber\\ &\times \langle\beta,\text{out}|q\left(+\infty\right);+\infty\rangle \langle q\left(-\infty\right);-\infty|\alpha,\text{in}\rangle. \label{eq:9.2.3} \end{align}\]

顺便说一下，这个结果立即^[2]导致式(6.4.3)，这是我们反复用来将不在壳(off-shell)费曼图的和与海森堡绘景算符之间的确切能量本征态的矩阵元联系起来的定理。

本文为路径积分中的小虚部的介绍。通常从正则量子化的方法中会从物理上因为因果律的需要给出小\(\epsilon\)，但是对于路径积分中的讨论偏少，这个内容在Steven Weinberg的The Quantum Theory of Fields Vol. I一书中有详细介绍。本文主要是对该书中小虚部的内容(主要在9.1-9.2两节中)进行翻译和整理。文中多数内容来自经个人审查的GPT翻译。

引论

在第7章和第8章中，我们应用了正则量子化的算符方法，推导了多种理论的费曼规则。在许多情况下，比如带有导数耦合的标量场或具有零/非零质量的矢量场，虽然推导过程直接，但实际上相当繁琐。相互作用哈密顿量包含一个协变项，等于拉格朗日中相互作用项的负号，以及一个非协变项，用于抵消传播子中的非协变项。在电动力学的情形下，这个非协变项（库仑能）甚至在空间上不是局域的，尽管它在时间上是局域的。然而最终的结果却非常简单：费曼规则正是我们用协变传播子、并用拉格朗日中相互作用项的负号计算顶点贡献时应得到的结果。获得这些简单结果的过程非常繁琐，在第7、8章讨论的理论中已经很麻烦，对于更复杂的理论（如第二卷将讨论的非阿贝尔规范理论和广义相对论）则几乎无法忍受。我们当然希望有一种方法能直接从拉格朗日量出发，得到最终洛伦兹协变形式的费曼规则。

幸运的是，这样的方法确实存在，这就是路径积分方法。路径积分最早由费曼在其普林斯顿博士论文中提出，最初用于非相对论量子力学，目的是直接用拉格朗日量而非哈密顿量进行计算。在这方面，它受到早期狄拉克工作的启发。路径积分方法也在费曼后来推导其图示规则时发挥了作用（当然也有灵感猜测的成分）。不过，尽管费曼图在20世纪50年代被广泛使用，大多数物理学家（包括我自己）还是倾向于用Schwinger和Tomonaga的算符方法推导这些规则，Dyson在1949年证明这些方法与费曼自己的方法得到的图规则是一致的。

路径积分方法在20世纪60年代末被重新重视，Faddeev和Popov以及De Witt展示了如何将其应用于非阿贝尔规范理论和广义相对论。对大多数理论物理学家来说，转折点出现在1971年，'t Hooft利用路径积分方法推导了自发对称性破缺的规范理论（第二卷讨论），特别是弱相互作用和电磁相互作用理论的费曼规则，并采用了一种使高能行为透明的规范。不久之后，也是在第二卷中讨论的，人们发现路径积分方法可以考虑S矩阵中在耦合常数为零时具有本质奇点的贡献，这些贡献在任何有限阶微扰理论中都无法发现。从那以后，这里介绍的路径积分方法成为所有使用量子场论的物理学家的必备工具。

此时读者可能会疑惑，如果路径积分方法如此方便，为什么第7章还要介绍正则形式主义。事实上，费曼最初似乎也把路径积分方法当作普通正则量子力学的替代方案。之所以要从正则形式主义出发，有两个原因。第一是原则性问题：虽然路径积分形式主义为我们提供了显然洛伦兹协变的图规则，但它并没有明确说明用这种方法计算得到的S矩阵为何是幺正的。据我所知，唯一能证明路径积分形式主义给出幺正S矩阵的方法，是用它重建正则形式主义，在后者中幺正性是显然的。这其实是一种“麻烦守恒”：我们可以用正则方法，幺正性显然但洛伦兹协变性不明显；也可以用路径积分方法，协变性显然但幺正性不明显。由于这里的路径积分方法是从正则方法推导出来的，我们知道两种方法给出相同的S矩阵，因此S矩阵必然既协变又幺正。

第二个原因更实际：有些重要理论中，最简单版本的费曼路径积分方法（即直接从拉格朗日量取传播子和顶点）其实是错误的。一个例子是非线性\(\sigma\)模型，其拉格朗日密度为\(\mathcal{L} = -\frac{1}{2}g_{kl}(\phi)\partial_\mu\phi^k\partial^\mu\phi^l\)。在这类理论中，直接用拉格朗日密度推导的“天真”费曼规则会得到错误甚至非幺正的S矩阵，且结果还依赖于我们如何定义标量场。在本章中，我们将从正则形式主义推导路径积分形式主义，从而看到需要在最简单的路径积分费曼规则基础上补充哪些额外的顶点。

9.1 路径积分的一般公式

无穷小区间的跃迁振幅

本文主要参照J M Zhang以及R X Dong一文精确对角化方法，以Bose-Hubbard模型为例，给出了对应的哈密顿量的构建方法。代码以matlab给出。

Bose-Hubbard模型

Bose-Hubbard模型指的是满足如下哈密顿量的模型：

\[\begin{equation} \hat{H}=-t\sum_{\langle ij\rangle}(a_{i}^{\dagger}a_{j}+a_{j}^{\dagger}a_{i})+\frac{U}{2}\sum_{i=1}^{M}\hat{n}_{i}(\hat{n}_{i}-1) \end{equation}\]

其中\(a_{i}(a_{i}^{\dagger})\)是湮灭(生成)一个在格点\(i\)上粒子的玻色算符，而数算符\(\hat{n}_{i}=a_{i}^{\dagger}a_{i}\)则计数在格点\(i\)上的粒子。由于该模型是玻色模型，每个格点上可以有多于两个粒子的共存。我们考虑有限个一维格点，假设总共有\(M\)个格点，若总原子数为\(N\)个，则总的Hilbert空间可以通过隔板法可以求得：

\[\begin{equation} D=\frac{(N+M-1)!}{N!(M-1)!} \end{equation}\]

可以发现该空间维数以指数增长。尽管可以通过对称性削减基的数量，在这里我们只考虑一个基础的数值方法，故在这里不作对称性分析。

本文的主要内容参考自相关文献^[1]，给出了如何构建用于精确对角化的Bose-Hubbard模型的算法。为简便起见，这里采取周期性边界条件。

基的构建

Kernel Polynomial Method (KPM)

Kernel polynomial method (KPM) 是一种利用数值 Chebyshev 多项式展开来降低计算复杂度的方法。传统计算谱时常需 \(O(N^3)\) 的对角化方法，而 KPM 则将问题转化为矩阵与一组较小向量的乘法，大幅降低复杂度。同期发展的还有 Lanczos 算法，Lanczos 适合求本征态，KPM 更适合谱性质和关联函数的计算 ^[1]。

KPM 源自函数的正交多项式展开。定义权重函数 \(w(x)\) 及区间 \([a,b]\) 后，两个可积函数 \(f,g:[a,b]\to\mathbb{R}\) 的内积为：

\[\begin{equation} \langle f|g \rangle = \int_a^b w(x) f(x) g(x) dx \end{equation}\]

通过 Schmidt 正交化可得正交多项式 \(p_n(x)\)，满足：

\[\begin{equation} \langle p_n|p_m \rangle = \delta_{nm}/h_n \end{equation}\] 其中 \(h_n = ⟨p_n|p_n⟩\)。任意函数可展开为： \[\begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n p_n(x), \quad \alpha_n = \frac{1}{h_n}\langle p_n|f \rangle \end{equation}\] 通常意义上任何正交多项式都可以用来展开函数从而使用KPM，但经过历史和经验的检验，第一类和第二类Chebyshev多项式由于其优秀的收敛性以及与傅里叶变换的相似性而被认为是最佳选择。 ### Chebyshev 多项式 Chebyshev 多项式定义在区间 \([a,b]=[-1,1]\) 上。第一类 Chebyshev 多项式 \(T_n(x)\) 的权重函数为 \(w(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}\)，第二类 \(U_n(x)\) 的权重函数为 \(w(x)=\pi\sqrt{1-x^2}\)。可以验证：

\[\begin{equation} \begin{split} T_n(x) &= \cos\left[n \cos^{-1}x\right] \\ U_n(x) &= \frac{\sin\left[(n+1)\cos^{-1}x\right]}{\sin\left[\cos^{-1}x\right]} \end{split} \end{equation}\]

两类 Chebyshev 多项式都存在递推关系。对于第一类：

\[\begin{equation} \begin{split} T_0(x) &= 1, \\ T_{-1}(x) &= T_1(x) = x, \\ T_{n+1}(x) &= 2xT_n(x)-T_{n-1}(x) \end{split} \end{equation}\]

引论

通常在学物理/做物理的人之间会有一个专有名词叫物理图像(Physical Picture)，有时也简称为物理。例如交流的时候会说"你这篇文章的物理(图像)是什么"。然而维基百科上并没有关于这个词的明确定义，且在不同的语境下物理图像指代对象会有极大的不同。为了能够理清这一词至目前的各种含义，于是便写下了这篇杂谈。

物理模型

作为自然学科的基础之一，物理的核心在于研究自然。而要研究自然，目前最有效的方式是根据现实提取出对应的物理模型进行分析。

为了得到响应的物理模型，在考虑现实中的各种物理对象时，首先要对该对象进行抽象，以此得到最简单而又最能反应所关注的内容的一个物理模型.例如质点这一对象是对任意不关注其大小以及形状的物体的抽象，这一抽象对象在研究一个物体的运动，尤其是空间上的平移时时最为有效，因为我们只需要关注质点在空间中的位置即可。然而由于抽象过程中我们抛弃了太多信息，导致其缺点在于质点是一个没有大小的点，我们没有办法研究它的旋转。

若是要研究旋转，我们需要加入一些关于形状和大小的细节，这个时候将刚体的抽象要更加有利于研究。借此我们可以研究对象的旋转。若是要研究刚体在各种受力下的变化，我们就需要加入更多的细节，例如物体可以发生形变，扭曲，断裂，拼接，融合等各种现实中存在的过程。无论如何，在研究自然时，我们总是需要根据研究对象去提取出当前对象最关键的信息，通过抽象来建立一个物理对象的模型，这便是物理模型。

数学模型

在建立了物理模型后，我们需要描述其各种关心的性质以及各种性质之间的联系。而目前最好的描述工具是数学，在基于对应的物理模型的基础上，进一步用数学建立的模型可以称为数学模型。或许最广为人知的数学模型应当是牛顿的运动学第二定律 \[\begin{equation} \mathbf{F}=m\mathbf{a} \end{equation}\] 这个公式描述了一个真空中质量为\(m\)的物理对象受到的力\(\mathbf{F}\)与其因力而产生的加速度\(\mathbf{a}\)的关系，这是一个数学函数关系，因此可以认为其是一个描述任一满足特定假设^[1]下用于描述物理模型的数学模型。 这个数学模型的特殊性在于，与其他任意\(y=f(x)\)相比，当我们将这三个变量(两个是矢量)中任意两个变量换为任意物理对象的对应的已知参数的数据^[2]时，求解得到的第三个未知的变量的数据将必然与在现实中的物理对象通过实验测得的数据在一定的误差范围内相同。这一重要区别使得一个物理模型所对应的数学模型具有了一定程度的预测现实的功能。

物理理论

本文为2020至2021年LX老师上课的量子场论笔记整理，主要内容是Spin-0部分。仅供一些细节上的参考，内容并未做太多整理，所以稍显混乱

本文为复习超导的一些基本概念和计算，参考自D-wave Superconductivity^[1]

超导的基本概念

超导现象（Superconductivity）是具有零直流电阻与完全抗磁性的电磁材料。零电阻意味着超导体是理想导体，且利用超导传输线进行电能输运时没有能量损耗。此外，超导体还表现出完全抗磁性（迈斯纳效应），即超导体会将内部的磁通线排出体外。零电阻与迈斯纳效应是两个无法用传统单电子理论理解的特征性质。

区分超导体和理想导体的关键点在于冷却过程。在降温后，对于理想导体而言，磁场仍然会滞留在系统内；而对于超导体而言，磁场会被排除在外。因此，对于理想导体，冷却前有场与零场存在差别；而对于超导体，无论其外场和历史如何，磁场在体态中都会变为零。

二流体模型与London方程

二流体模型核心假设为超导体内存在两种电子

• 正常电子（Normal electrons）
• 超导电子（Superconducting electrons）

利用这两种电子，可以解释零电阻现象，但是还不能解释迈斯纳效应，故还需要London方程，即在库伦规范下\(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) ^[2],超导电流密度可以写为 \[\begin{equation} \mathbf{J}_s=-\frac{n_se^2}{m}\mathbf{A} \end{equation}\] 需要强调的是，该方程不能从 Maxwell 方程中导出，且应当被视为超导体作为一类特殊的电磁介质所满足的独立的电磁方程，London 方程只有在超导体的微观理论建立后才能被严格推导。

一个历史上的启发性推导: 假设电子在超导体中无摩擦地前进, \[\begin{equation} m \dot{\mathbf{v}} = -e \mathbf{E} \end{equation}\] 其中 \(\mathbf{v}_s\) 是超导电子速度，\(\mathbf{E}\) 是电场。超电流 \(\mathbf{J}_s = -e n_{s} \mathbf{v}_{s}\) 则为： \[\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{J}_{s}}{\partial t} = \frac{e^{2} n_{s}}{m} \mathbf{E} \end{equation}\] 这是第一 London 方程。利用 Maxwell 方程： \[\begin{equation} \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \end{equation}\] 可立即得到： \[\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{J}_{s} + \frac{e^{2} n_{s}}{m} \mathbf{B} \right) = 0 \end{equation}\] 该方程描述了理想导体的行为。但为了描述迈斯纳效应，积分常数必须选为零，从而： \[\begin{equation} \nabla \times \mathbf{J}_{s} + \frac{e^{2} n_{s}}{m} \mathbf{B} = 0 \end{equation}\] 这是第二 London 方程。结合 Ampere 定律： \[\begin{equation} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}_{s} \end{equation}\] 可得到磁场满足 Helmholtz 方程： \[\begin{equation} \nabla^{2} \mathbf{B} = \frac{\mu_{0} n_{s} e^{2}}{m} \mathbf{B} \end{equation}\] 假设一半无限超导体，其表面垂直于 \(x\) 方向，其解为： \[\begin{equation} B(x) = B(x_{0}) e^{-(x - x_{0}) / \lambda} \end{equation}\] 其中： \[\begin{equation} \lambda = \sqrt{\frac{m}{\mu_{0} n_{s} e^{2}}} \end{equation}\] 是描述外磁场在超导-真空界面处的 London 穿透深度。当 \(x - x_{0} \gg \lambda\) 时，磁场衰减到零，这给出了迈斯纳效应的现象学描述。

有一些看过的有意思的资料，因为没办法塞进笔记里，放文件夹又容易忘掉，于是在这里做个记录

Physics in Two Dimensions.(二维物理)

由A.J. Leggett给出的二维体系物理的lecture note，包含局域化，Ginzburg-Landau，BKT相变，QHE，拓扑绝缘体，Kitaev模型等

DMRG笔记-iDMRG

由知乎用户零零撰写的DMRG参考代码

关济寰的个人网站

Robert Littlejohn的量子力学lecture

Algorithms and Libraries for Physics Simulations - ALPS

由欧洲多个大学和研究机构的物理学家共同开发和维护的大型开源项目，提供一个统一、高性能的C++框架，包含精确对角化（ED）、量子蒙卡（包括SSE、DQMC等）和密度矩阵重整化群（DMRG）^[1]