路径积分中的小虚部(上)

本文为路径积分中的小虚部的介绍。通常从正则量子化的方法中会从物理上因为因果律的需要给出小\(\epsilon\)，但是对于路径积分中的讨论偏少，这个内容在Steven Weinberg的The Quantum Theory of Fields Vol. I一书中有详细介绍。本文主要是对该书中小虚部的内容(主要在9.1-9.2两节中)进行翻译和整理。文中多数内容来自经个人审查的GPT翻译。

引论

在第7章和第8章中，我们应用了正则量子化的算符方法，推导了多种理论的费曼规则。在许多情况下，比如带有导数耦合的标量场或具有零/非零质量的矢量场，虽然推导过程直接，但实际上相当繁琐。相互作用哈密顿量包含一个协变项，等于拉格朗日中相互作用项的负号，以及一个非协变项，用于抵消传播子中的非协变项。在电动力学的情形下，这个非协变项（库仑能）甚至在空间上不是局域的，尽管它在时间上是局域的。然而最终的结果却非常简单：费曼规则正是我们用协变传播子、并用拉格朗日中相互作用项的负号计算顶点贡献时应得到的结果。获得这些简单结果的过程非常繁琐，在第7、8章讨论的理论中已经很麻烦，对于更复杂的理论（如第二卷将讨论的非阿贝尔规范理论和广义相对论）则几乎无法忍受。我们当然希望有一种方法能直接从拉格朗日量出发，得到最终洛伦兹协变形式的费曼规则。

幸运的是，这样的方法确实存在，这就是路径积分方法。路径积分最早由费曼在其普林斯顿博士论文中提出，最初用于非相对论量子力学，目的是直接用拉格朗日量而非哈密顿量进行计算。在这方面，它受到早期狄拉克工作的启发。路径积分方法也在费曼后来推导其图示规则时发挥了作用（当然也有灵感猜测的成分）。不过，尽管费曼图在20世纪50年代被广泛使用，大多数物理学家（包括我自己）还是倾向于用Schwinger和Tomonaga的算符方法推导这些规则，Dyson在1949年证明这些方法与费曼自己的方法得到的图规则是一致的。

路径积分方法在20世纪60年代末被重新重视，Faddeev和Popov以及De Witt展示了如何将其应用于非阿贝尔规范理论和广义相对论。对大多数理论物理学家来说，转折点出现在1971年，'t Hooft利用路径积分方法推导了自发对称性破缺的规范理论（第二卷讨论），特别是弱相互作用和电磁相互作用理论的费曼规则，并采用了一种使高能行为透明的规范。不久之后，也是在第二卷中讨论的，人们发现路径积分方法可以考虑S矩阵中在耦合常数为零时具有本质奇点的贡献，这些贡献在任何有限阶微扰理论中都无法发现。从那以后，这里介绍的路径积分方法成为所有使用量子场论的物理学家的必备工具。

此时读者可能会疑惑，如果路径积分方法如此方便，为什么第7章还要介绍正则形式主义。事实上，费曼最初似乎也把路径积分方法当作普通正则量子力学的替代方案。之所以要从正则形式主义出发，有两个原因。第一是原则性问题：虽然路径积分形式主义为我们提供了显然洛伦兹协变的图规则，但它并没有明确说明用这种方法计算得到的S矩阵为何是幺正的。据我所知，唯一能证明路径积分形式主义给出幺正S矩阵的方法，是用它重建正则形式主义，在后者中幺正性是显然的。这其实是一种“麻烦守恒”：我们可以用正则方法，幺正性显然但洛伦兹协变性不明显；也可以用路径积分方法，协变性显然但幺正性不明显。由于这里的路径积分方法是从正则方法推导出来的，我们知道两种方法给出相同的S矩阵，因此S矩阵必然既协变又幺正。

第二个原因更实际：有些重要理论中，最简单版本的费曼路径积分方法（即直接从拉格朗日量取传播子和顶点）其实是错误的。一个例子是非线性\(\sigma\)模型，其拉格朗日密度为\(\mathcal{L} = -\frac{1}{2}g_{kl}(\phi)\partial_\mu\phi^k\partial^\mu\phi^l\)。在这类理论中，直接用拉格朗日密度推导的“天真”费曼规则会得到错误甚至非幺正的S矩阵，且结果还依赖于我们如何定义标量场。在本章中，我们将从正则形式主义推导路径积分形式主义，从而看到需要在最简单的路径积分费曼规则基础上补充哪些额外的顶点。

9.1 路径积分的一般公式

无穷小区间的跃迁振幅

我们从一个一般的量子力学系统出发，设有厄米算符“坐标”\(Q_a\)和共轭“动量”\(P_b\)，它们满足正则对易关系： \[ \begin{equation} [Q_a, P_b] = i\delta_{ab} \label{eq:9.1.1} \end{equation} \] \[\begin{equation} [Q_a, Q_b] = [P_a, P_b] = 0 \label{eq:9.1.2} \end{equation}\]

（本节及接下来的三节我们只讨论玻色子算符，即满足对易关系的算符。对费米子算符的推广将在9.5节给出。）在场论中，指标\(a\)通常包括空间位置\(\mathbf{x}\)和离散的洛伦兹及种类指标\(m\)，我们约定写作

\[\begin{equation} Q_{x,m} \equiv Q_m\left(\mathbf{x}\right) \label{eq:9.1.3} \end{equation}\] \[\begin{equation} P_{x,m} \equiv P_m\left(\mathbf{x}\right) \label{eq:9.1.4} \end{equation}\]

同时，\(\eqref{eq:9.1.1}\)中的Kronecker delta在场论中解释为

\[\begin{equation} \delta_{x,m;y,n} \equiv \delta^3\left(\mathbf{x}-\mathbf{y}\right)\delta_{mn} \label{eq:9.1.5} \end{equation}\]

不过，为了简便，本文将继续使用\(\eqref{eq:9.1.1}\)和\(\eqref{eq:9.1.2}\)的紧凑记号，这些是“薛定谔绘景”下的算符，取定某一时刻（如\(t=0\)）。海森堡绘景下的时变算符将在后文讨论。

由于所有\(Q_a\)都对易，我们可以找到一组共同本征态\(|q\rangle\)，其本征值为\(q_a\)：

\[\begin{equation} Q_a|q\rangle = q_a|q\rangle \label{eq:9.1.6} \end{equation}\]

这些本征矢可以取为正交归一的：

\[\begin{equation} \langle q'|q\rangle = \prod_a \delta\left(q'_a - q_a\right) \equiv \delta\left(q' - q\right) \label{eq:9.1.7} \end{equation}\]

因此完备关系为

\[\begin{equation} 1 = \int \prod_a dq_a\, |q\rangle\langle q| \label{eq:9.1.8} \end{equation}\]

同理，我们可以找到\(P_a\)的正交归一本征态\(|p\rangle\)：

\[\begin{equation} P_a|p\rangle = p_a|p\rangle \label{eq:9.1.9} \end{equation}\] \[\begin{equation} \langle p'|p\rangle = \prod_a \delta\left(p'_a - p_a\right) \equiv \delta\left(p' - p\right) \label{eq:9.1.10} \end{equation}\] \[\begin{equation} 1 = \int \prod_a dp_a |p\rangle\langle p| \label{eq:9.1.11} \end{equation}\]

由\(\eqref{eq:9.1.1}\)可知，这两组完备本征态的标量积为

\[\begin{equation} \langle q|p\rangle = \prod_a \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(iq_a p_a\right) \label{eq:9.1.12} \end{equation}\]

在海森堡绘景下，\(Q\)和\(P\)算符具有如下时间依赖性：

\[\begin{equation} Q_a\left(t\right) \equiv e^{iHt} Q_a e^{-iHt} \label{eq:9.1.13} \end{equation}\] \[\begin{equation} P_a\left(t\right) \equiv e^{iHt} P_a e^{-iHt} \label{eq:9.1.14} \end{equation}\]

其中\(H\)为总哈密顿量。这些算符的本征态分别为\(|q;t\rangle\)和\(|p;t\rangle\)：

\[\begin{equation} Q_a\left(t\right)|q;t\rangle = q_a|q;t\rangle \label{eq:9.1.15} \end{equation}\] \[\begin{equation} P_a\left(t\right)|p;t\rangle = p_a|p;t\rangle \label{eq:9.1.16} \end{equation}\]

它们由如下关系给出：

\[\begin{equation} |q;t\rangle = e^{iHt}|q\rangle \label{eq:9.1.17} \end{equation}\] \[\begin{equation} |p;t\rangle = e^{iHt}|p\rangle \label{eq:9.1.18} \end{equation}\]

(注意\(|q;t\rangle\)是\(Q_a(t)\)的具有本征值\(q_a\)的本征态，而不是让\(|q\rangle\)演化时间\(t\)后的结果。这就是为什么时间依赖性是由\(e^{iHt}\)给出而非\(e^{-iHt}\).)这些态满足完备性和正交性：

\[\begin{equation} \langle q';t|q;t\rangle = \delta\left(q' - q\right) \label{eq:9.1.19} \end{equation}\] \[\begin{equation} \langle p';t|p;t\rangle = \delta\left(p' - p\right) \label{eq:9.1.20} \end{equation}\] \[\begin{equation} \int \prod_a dq_a\, |q;t\rangle\langle q;t| = 1 \label{eq:9.1.21} \end{equation}\] \[\begin{equation} \int \prod_a dp_a\, |p;t\rangle\langle p;t| = 1 \label{eq:9.1.22} \end{equation}\]

并且

\[\begin{equation} \langle q;t|p;t\rangle = \prod_a \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(iq_a p_a\right) \label{eq:9.1.23} \end{equation}\]

如果在\(t\)时刻测量系统处于\(|q;t\rangle\)，则在\(t'\)时刻测量为\(|q';t'\rangle\)的概率幅为\(\langle q';t'|q;t\rangle\)，本章的中心问题就是计算这个标量积。

当\(t'\)和\(t\)无穷接近时，设\(t' = \tau + d\tau\)，\(t = \tau\)，有 \[ \begin{equation} \langle q';\tau + d\tau|q;\tau\rangle = \langle q';\tau|e^{-iH d\tau}|q;\tau\rangle \label{eq:9.1.24} \end{equation} \] 哈密顿量\(H\)可写为\(H(Q,P)\)，但由于\(\eqref{eq:9.1.13}\)和\(\eqref{eq:9.1.14}\)是相似变换，并且\(H\)与其自身对易，可以写为关于\(Q(t)\)和\(P(t)\)的相同函数：

\[\begin{equation} H \equiv H\left(Q,P\right) = e^{iHt} H\left(Q,P\right) e^{-iHt} = H\left(Q\left(t\right), P\left(t\right)\right) \label{eq:9.1.25} \end{equation}\]

我们可以采用标准形式，使所有\(Q\)都在\(P\)的左边。例如\(P_a Q_b P_c\)可重写为\(Q_b P_a P_c - i\delta_{ab}P_c\)。这样，\(Q_a(t)\)可用其本征值\(q'_a\)替换。为处理\(P(t)\)，用\(\eqref{eq:9.1.23}\)将\(|q;\tau\rangle\)在\(|p;\tau\rangle\)基展开，得到 \[ \begin{align} \langle q';\tau + d\tau|q;\tau\rangle &= \int \prod_a dp_a\, \langle q';\tau|e^{-iH\left(Q\left(\tau\right),P\left(\tau\right)\right)d\tau}|p;\tau\rangle \langle p;\tau|q;\tau\rangle \nonumber \\ &= \int \prod_a \frac{dp_a}{2\pi} \exp\left[-iH\left(q',p\right)d\tau + i\sum_a \left(q'_a - q_a\right)p_a\right]\label{eq:9.1.26}\\ \end{align} \]

有限区间的跃迁振幅

对于有限时间区间\(t\)到\(t'\)，将区间分为\(N+1\)段，每段 \[ \begin{equation} \tau_{k+1}-\tau_k=d\tau = \left(t' - t\right)/\left(N+1\right) \end{equation} \label{eq:9.1.27} \] 在每个\(\tau_k\)插入完备集： \[ \begin{equation} \langle q';t'|q;t\rangle = \int dq_1 \cdots dq_N \langle q';t'|q_N;\tau_N\rangle \langle q_N;\tau_N|q_{N-1};\tau_{N-1}\rangle \cdots \langle q_1;\tau_1|q;t\rangle \label{eq:9.1.28} \end{equation} \] 代入\(\eqref{eq:9.1.26}\)得 \[ \begin{align} &\langle q';t'|q;t\rangle = \int \left[\prod_{k=1}^N \prod_a dq_{k,a}\right] \left[\prod_{k=0}^N \prod_a \frac{dp_{k,a}}{2\pi}\right]\nonumber\\ &\quad\times \exp\left\{i\sum_{k=1}^{N+1} \left[\sum_a \left(q_{k,a} - q_{k-1,a}\right)p_{k-1,a} - H\left(q_k, p_{k-1}\right)d\tau\right]\right\} \label{eq:9.1.29} \end{align} \] 其中 \[ \begin{equation} q_0 \equiv q, \quad q_{N+1} \equiv q' \label{eq:9.1.30} \end{equation} \]

内插函数

结果\(\eqref{eq:9.1.29}\)能够写为更加优雅的形式。定义平滑插值函数\(q(\tau)\)与\(p(\tau)\)，使得 \[ \begin{equation}\label {eq:9.1.31} q_a\left(\tau_k\right) = q_{k,a}, \quad p_a\left(\tau_k\right) = p_{k,a} \end{equation} \] 则当\(N \to \infty\)时，\(d\tau \to 0\)，时，式\(\eqref{eq:9.1.29}\)中的指数宗量变为关于\(\tau\)的积分 \[ \begin{align} &\sum_{k=1}^{N+1} \left[\sum_a \left(q_{k,a} - q_{k-1,a}\right)p_{k-1,a} - H\left(q_k, p_{k-1}\right)d\tau\right] \nonumber\\ &= \sum_{k=1}^{N+1} \left[\sum_a \dot{q}_a\left(\tau_k\right)p_{a}\left(\tau_k\right) - H\left(q\left(\tau_k\right), p\left(\tau_k\right)\right)\right]d\tau+O\left(d\tau^2\right) \nonumber\\ &\to \int_t^{t'} \left[\sum_a \dot{q}_a\left(\tau\right)p_a\left(\tau\right) - H\left(q\left(\tau\right), p\left(\tau\right)\right)\right]d\tau \label{eq:9.1.32} \end{align} \] 此外，可以将积分定义为对函数\(q(\tau)\)与\(p(\tau)\)的积分： \[ \begin{equation} \int \prod_{\tau,a} dq_a\left(\tau\right) \prod_{\tau,b} \frac{dp_b\left(\tau\right)}{2\pi}\cdots \equiv \lim_{d\tau \to 0} \int \prod_{k,a} dq_{k,a} \prod_{k,b} \frac{dp_{k,b}}{2\pi} \label{eq:9.1.33} \end{equation} \] 最终，路径积分表达式为 \[ \begin{align} \langle q';t'|q;t\rangle &= \int_{q_a\left(t\right)=q_a}^{q_a\left(t'\right)=q_a'}\prod_{\tau,a}dq_a\left(\tau\right)\prod_{\tau,b} \frac{dp_b\left(\tau\right)}{2\pi}\nonumber\\ &\times \exp\left\{i\int_t^{t'} d\tau \left[\sum_a \dot{q}_a\left(\tau\right)p_a\left(\tau\right) - H\left(q\left(\tau\right), p\left(\tau\right)\right)\right]\right\} \label{eq:9.1.34} \end{align} \] 这就是路径积分（path integral）表达式，因为我们对所有从\(q\)到\(q'\)的路径\(q(\tau)\)以及所有\(p(\tau)\)进行积分。

以这种方式写出矩阵元的一大优势是，当在\(H\)中展开为耦合常数的幂次时，路径积分很容易计算。

时序乘积下的矩阵元

路径积分形式主义允许我们不仅计算跃迁概率幅如\(\langle q';t'|q;t\rangle\)，还可以计算时间序乘积的任意算符\(\mathcal{O}\left(P\left(t\right),Q\left(t\right)\right)\)在给定初态\(\langle q';t'|\)和末态\(|q;t\rangle\)之间的矩阵元。定义这些算符（与\(H\)不同）使所有\(P\)移到左边，所有\(Q\)移到右边，会很方便。然后通过在式\(\eqref{eq:9.1.26}\)中插入任何这样的算符\(\mathcal{O}\left[P\left(t\right),Q\left(t\right)\right]\)，我们有

\[ \begin{align} &\langle q';t'+dt|\mathcal{O}\left(P\left(t\right),Q\left(t\right)\right)|q;t\rangle \nonumber\\ &= \int \prod dp_a\times \langle q';t|\exp\left(-iH\left(Q\left(t\right),P\left(t\right)\right)dt\right)|p;t\rangle\langle p;t|\mathcal{O}\left(P\left(t\right),Q\left(t\right)\right)|q;t\rangle\nonumber\\ &= \int \prod_a\frac{dp_a}{2\pi} \exp\left[-iH\left(q',p\right)dt + i\sum\left(q'_a - q_a\right)p_a\right] \mathcal{O}\left(p,q\right). \label{eq:9.1.35} \end{align} \]

为了计算形如\(\mathcal{O}_A\left(P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right)\mathcal{O}_B\left(P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right)\cdots\)的算符乘积的矩阵元，其中\(t_A > t_B > \cdots\)，我们可以在式\(\eqref{eq:9.1.28}\)中的适当态之间插入\(\mathcal{O}\)算符，并使用式\(\eqref{eq:9.1.35}\)。例如，如果时间\(t_A\)落在\(\tau_k\)和\(\tau_{k+1}\)之间，则在\(\langle q_{k+1};\tau_{k+1}|\)和\(|q_k;\tau_k\rangle\)之间插入\(\mathcal{O}_A\left(P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right)\)。注意在式\(\eqref{eq:9.1.28}\)中每个连续的态求和都在后面的时间，所以这只有在我们假设\(t_A > t_B > \cdots\)时才可能。按照与之前相同的步骤，我们现在找到一般路径积分公式

\[ \begin{align} &\langle q';t'|\mathcal{O}_A\left(P\left(t_A\right),Q\left(t_A\right)\right)\mathcal{O}_B\left(P\left(t_B\right),Q\left(t_B\right)\right)\cdots|q;t\rangle \nonumber\\ &= \int_{q_a\left(t\right)=q_a}^{q_a\left(t'\right)=q_a'} \prod_{a,\tau} dq_a\left(\tau\right)\prod_{b,\tau} \frac{dp_b\left(\tau\right)}{2\pi} \mathcal{O}_A\left(p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right)\mathcal{O}_B\left(p\left(t_B\right),q\left(t_B\right)\right)\cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_t^{t'} d\tau \left\{\sum \dot{q}_a\left(\tau\right)p_a\left(\tau\right) - H\left(q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right)\right\}\right]. \label{eq:9.1.36} \end{align} \]

这个结果只有在时间有序时才有效，即 \[ \begin{equation}\label{eq:9.1.37} t' > t_A > t_B > \cdots > t. \end{equation} \]

然而，式\(\eqref{eq:9.1.36}\)右边没有任何内容涉及时间参数的顺序。因此，如果我们遇到像式\(\eqref{eq:9.1.36}\)右边这样的路径积分，其中\(t_A,t_B,\cdots\)的顺序是任意的（全部在\(t\)和\(t'\)之间，且\(t < t'\)），那么这个路径积分将等于像式\(\eqref{eq:9.1.36}\)左边这样的矩阵元，但算符按时间递减的顺序排列（从左到右）。也就是说，对于任意顺序的\(t_A,t_B,\cdots\)，我们有

\[ \begin{align} &\langle q';t'|T\left\{\mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A)), \mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B)), \cdots \right\}|q;t\rangle \nonumber\\ &= \int \prod_{a,b} dq_a(\tau)\prod \frac{dp_b(\tau)}{2\pi} \mathcal{O}_A(p(t_A),q(t_A))\mathcal{O}_B(p(t_B),q(t_B))\cdots \nonumber\\ &\times \exp\left[i\int_t^{t'} d\tau \left\{\sum \dot{q}_a(\tau)p_a(\tau) - H(q(\tau),p(\tau))\right\}\right]. \label{eq:9.1.38} \end{align} \] 其中\(T\)表示时间序乘积算符。

运动方程

应该强调的是，式\(\eqref{eq:9.1.38}\)中的复数函数\(q_a(\tau), p_a(\tau)\)仅仅是积分变量，特别是不受经典哈密顿动力学运动方程的约束

\[ \begin{align} \dot{q}_a\left(\tau\right) - \frac{\partial H\left(q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right)}{\partial p_a\left(\tau\right)} &= 0, \label{eq:9.1.39}\\ \dot{p}_a\left(\tau\right) + \frac{\partial H\left(q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right)}{\partial q_a\left(\tau\right)} &= 0. \label{eq:9.1.40} \end{align} \]

（因此，式\(\eqref{eq:9.1.38}\)中的哈密顿量\(H\left(q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right)\)在\(\tau\)中不是常数。）尽管如此，路径积分在有限意义上确实尊重这些运动方程。假设式\(\eqref{eq:9.1.38}\)中的某个函数，比如\(\mathcal{O}_A\left(p\left(t_A\right),q\left(t_A\right)\right)\)，恰好是式\(\eqref{eq:9.1.39}\)或式\(\eqref{eq:9.1.40}\)的左边。我们注意到（对于\(t < t_A < t'\)）

\[ \begin{align} \left(\dot{q}_a\left(t_A\right) - \frac{\partial H\left(q\left(t_A\right),p\left(t_A\right)\right)}{\partial p_a\left(t_A\right)}\right) \exp\left(iI\left[q,p\right]\right) &= -i\frac{\delta}{\delta p_a\left(t_A\right)} \exp\left(iI\left[q,p\right]\right), \label{eq:9.1.41}\\ \left(\dot{p}_a\left(t_A\right) - \frac{\partial H\left(q\left(t_A\right),p\left(t_A\right)\right)}{\partial q_a\left(t_A\right)}\right) \exp\left(iI\left[q,p\right]\right) &= i\frac{\delta}{\delta q_a\left(t_A\right)} \exp\left(iI\left[q,p\right]\right), \label{eq:9.1.42} \end{align} \]

其中\(iI\)是式\(\eqref{eq:9.1.38}\)中指数的宗量：

\[ I\left[q,p\right] \equiv \int_t^{t'} d\tau \left\{\sum \dot{q}_a\left(\tau\right)p_a\left(\tau\right) - H\left(q\left(\tau\right),p\left(\tau\right)\right)\right\}. \label{eq:9.1.43} \]

只要\(t_A\)不接近\(t\)或\(t'\)，对\(q_a\left(t_A\right)\)和\(p_a\left(t_A\right)\)的积分是无约束的，所以在关于收敛性的合理假设下，这种变分导数的积分必须消失。因此，如果\(\mathcal{O}\left(p,q\right)\)取为运动方程\(\eqref{eq:9.1.39}\)或\(\eqref{eq:9.1.40}\)之一的左边，路径积分\(\eqref{eq:9.1.38}\)就消失。

这个简单规则只有在积分变量\(q_a\left(t_A\right), p_a\left(t_A\right)\)独立于任何其他变量\(q_a\left(t_B\right), p_a\left(t_B\right)\)等出现在式\(\eqref{eq:9.1.38}\)的其他函数\(\mathcal{O}_B, \mathcal{O}_C\)等中时才适用，因此只有当我们禁止\(t_A\)接近\(t_B, t_C\)等以及\(t\)或\(t'\)时才成立。当\(t_A\)接近，比如\(t_B\)时，路径积分将涉及正比于\(\delta\left(t_A - t_B\right)\)或其导数的非零项。这些delta函数与在算符形式主义中隐含在时间序乘积定义中的阶跃函数的时间导数相同。

在计算路径积分\(\eqref{eq:9.1.34}\)和\(\eqref{eq:9.1.38}\)时，我们只需要知道经典哈密顿量，即c数函数\(H\left(q,p\right)\)。如果我们要用路径积分定义理论，问题自然会出现，什么样的量子力学哈密顿量\(H\left(Q,P\right)\)（其中\(Q\)和\(P\)算符的顺序不同）对应这些路径积分。我们的推导已经给出了答案：量子哈密顿量应取所有\(Q\)在左边，所有\(P\)在右边。但太重视该规则反而会成为一个错误。解释在路径积分\(\eqref{eq:9.1.34}\)或\(\eqref{eq:9.1.38}\)中出现的测度\(\prod dq_a\left(\tau\right) \prod dp_b\left(\tau\right)\)有很多种方式。我们的规定，即将所有\(Q\)放在所有\(P\)的左边，只有在测度按照式\(\eqref{eq:9.1.31}\)-\(\eqref{eq:9.1.33}\)解释时才合适。其他测度会导致哈密顿量中算符排序的其他规定。这个问题不是紧迫的，因为哈密顿量中不同项的算符排序差异只对应哈密顿量中各种项的c数常数，我们一般将这些常数作为任意参数留下。

使用式\(\eqref{eq:9.1.38}\)中的一般路径积分进行数值计算或作为严格定理的来源是困难的。为了这些目的，更好的方法是使用路径积分方法在欧几里得空间中计算振幅，其中\(t\)被一个虚数量\(-ix_4\)替换，式\(\eqref{eq:9.1.38}\)的指数宗量是负实数量。这样，相比于实时间中锯齿路径会产生快速的振荡，虚时间则可以将这些快速震荡的路径以指数的方式抑制掉。